Matematyka w pokerze - wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe

Zapraszamy do drugiego artykułu z serii „Matematyka w pokerze” autorstwa PrawdziwyElBandito. W tej części poznacie zasady obliczania wartości oczekiwanej, wariancji i odchylenia standardowego na kilku charakterystycznych przykładach.

Matematyka w pokerze

Autorem tej serii jest użytkownik prawdziwyelbandito - absolwent Wydziału Matematyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie, matematyk z wykształcenia, autor pracy magisterskiej z zakresu aspektów matematycznych w pokerze: "Błądzenie przypadkowe i jego zastosowanie w zarządzaniu kapitałem w pokerze".

Znajomość matematyki pozwala nam na obliczenie liczby outów, pot oddsów, wykazania opłacalności sprawdzenia lub zagrania all-in. Programy obliczeniowe pokazują nam bardzo dokładnie, jakie mielibyśmy szanse na wygranie danego rozdania, gdyby doszło do sytuacji all-in na preflopie bądź którymkolwiek późniejszym streecie. To wszystko pozwala ocenić jakość naszej gry i wprowadzić niezbędne poprawki. Matematyka pokazuje nam, jak grać i większość pokerzystów wie, że ona się nie myli, nie da się jej oszukać. W tej serii będę starał się pokazać ciekawsze oblicze zastosowań matematyki w pokerze. Zastępuję pytanie: „Jak grać w pokera?”, na rzecz pytania: „Dlaczego grać?”. Postaram się przedstawić aspekty nieco wyższej matematyki w jak najbardziej przystępny sposób.

Jak bardzo oczekiwana jest wartość oczekiwana?

W poprzednim artykule przedstawiłem pojęcie zmiennej losowej. Warto się zaznajomić z tamtym zagadnieniem przed dzisiejszą lekturą, albowiem pojęcia takie jak wartość oczekiwana (EV), wariancja (Var(V)) czy odchylenie standardowe (σ) opisują właśnie zmienne losowe. W środowisku pokerowym często używa się powyższych określeń i nie zawsze zgodnie z definicją. Nie zamierzam jednak czepiać się słówek, a jedynie przedstawić definicje i przykłady powyższych określeń w celu lepszego zrozumienia ich „działania”. Przejdźmy do definicji. Nie będą to definicje podręcznikowe, a uproszczone wzory na nasz użytek:

Niech zmienna losowa V ma rozkład postaci V ~ {(v₁, p₁), (v₂, p₂), … ,(v_n, p_n)}, wówczas: 

1) wartość oczekiwaną zmiennej V wyrażamy wzorem:

E(V) = EV = v_{1 *} p₁ + v_{2 *} p₂ + … + v_{n *} p_n

2) wariancję zmiennej losowej V wyrażamy wzorem:

Var(V) = E(V²) – (E(V))² = v₁² _* p₁ + v₂² _* p₂ + … + v_n² _* p_n – (E(V))²

3) odchylenie standardowe zmiennej losowej V wyrażamy wzorem:

Jakie zastosowanie mają te wszystkie wzory i obliczenia? Otóż okazuje się, że średni wynik dowolnego doświadczenia powtarzanego w nieskończoność oraz opisywanego zmienną losową zmierza do swojej wartości oczekiwanej. Z finansowego punktu widzenia znając wartość oczekiwaną jakiejś sytuacji, możemy ocenić jej opłacalność, co oznacza, że każdą sytuację możemy określić jako EV+, EV- bądź break even.

Wartości oczekiwane dla przykładów

Pozostaje jeszcze wyjaśnić co to znaczy „zmierza” oraz „jak szybko zmierza”, czyli co to jest słynny „long run”? W odpowiedzi na to drugie pytanie pomocne okazują się wariancja i odchylenie standardowe. Tymi zagadnieniami zajmiemy się w kolejnych artykułach. Teraz wróćmy do przykładów z poprzedniego tygodnia i postarajmy się policzyć wartości oczekiwane, wariancje i odchylenia standardowe.

Przykład 1. Rzut monetą. Przypomnijmy rozkład zmiennej M: M ~ {(1, ½ }, (-1, ½)}.

EM = 1 * ½ + (-1) * ½ = 0.

Var(M) = 1² * ½ + (-1)² * ½ - 0² = 1

Przykład 2. Rzut kostką. K ~ {(1, 1/6), (2, 1/6), (3, 1/6), (4, 1/6), (5, 1/6), (6, 1/6).

EK = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 21/6 = 3½ .

Var(K) = 1² * 1/6 + 2² * 1/6 + 3² * 1/6 + 4² * 1/6 + 5² * 1/6 + 6² * 1/6 – (7/2)² = 91/6 – 49/4 =

= 182/12 – 147/12 = 35/12

Przykład 3. Ruletka. R  ~ {(-1, 36/37), (35, 1/37)}.

ER = -1 * 36/37 + 35 * 1/37 = -36/37 + 35/37 = -1/37.

Var(R) = (-1)² * 36/37 + 35² * 1/37 – (-1/37)² = 1261/37 – 1/1369 ≈ 34,08

Zatrzymajmy się chwilę przy królowej kasyn, jaką nazywana jest ruletka. Jeżeli tylko wykluczymy zakłady 50/50 (w większości kasyn przy wypadnięciu zera w tych zakładach zwracana jest połowa stawki, co powoduje podwyższenie wartości oczekiwanej), to śmiem twierdzić że dowolny układ żetonów o sumarycznej wartości x na planszy daje zawsze tę samą wartość oczekiwaną (-x/37)!

Jakie wnioski możemy wyciągnąć z samej matematyki? Najwyższe ER (równe 0) zdobędziemy po prostu nie grając. Im więcej stawiamy (zupełnie nie zależy na co i jak), tym więcej średnio tracimy. Nie zmienią tego żadne systemy podwajania stawek „do skutku” ani wszelkie inne magiczne metody na wygraną. Dowolne, nawet najdziwniejsze ułożenie żetonów, jest tak samo dobre (a raczej złe) jak każde inne. Nie mamy żadnego wpływu na nasze ER. Mamy jedynie wpływ na Var(R) oraz dobór stawki, czyli na szybkość przegrywania. I to właśnie odróżnia pokera od ruletki - wpływ gracza na wartość oczekiwaną jego poczynań. Przejdźmy więc do pokera.

Przykład 4. Poker - przypadek bardzo uproszczony.

Żeby uniknąć kosztów zapisanych kartek, zniszczonych kalkulatorów i bolących nadgarstków, podam wcześniej obliczone wariancję i odchylenie standardowe. Tutaj ograniczymy się jedynie do sprawdzenia naszego EV.

V ~ {(0, 1320/1326) , (1½ BB, 54/13260), (51½ BB, 51/132600), (-50BB, 9/132600).

EV = 0 * 1320/1326 + 1½BB * 54/13260 + 51½ BB * 51/132600 + (-50BB) * 9/132600 =
= 81BB/13260 + 2626½ BB/ 132600 – 45BB / 13260 = 360BB/132600 + 2626½ BB/132600=
≈ 0,0225 BB.

Var(V) ≈ 1,19 BB²

Czy to znaczy, że grając tą strategią mamy pewny zysk? Niestety potrzebna jest bardziej skomplikowana strategia. Nasz przykład dotyczył tylko pozycji UTG. Jeżeli podobnie będziemy grać na pozostałych pozycjach, to bardzo szybko blindy zjedzą nasz bankroll.

Przykład 5. Poker - przypadek ogólny.

Żeby opisać możliwie ogólny przypadek, musimy posłużyć się wyobraźnią. Wyobraźmy sobie, że siedzimy przy stole realnym bądź wirtualnym z dowolną możliwą liczbą przeciwników (1-9). Weźmy pod uwagę całą orbitę - liczba rozdań jest równa liczbie graczy przy stole (powiedzmy n). Wyobraźmy sobie wszystkie możliwe bilanse po tych n rozdaniach. Powinny szczelnie wypełnić przestrzeń naszej wyobraźni od kilku do nawet kilkunastu buy-inów w odległościach o cent od siebie. Tysiące możliwości i tysiące odpowiadających im prawdopodobieństw uzyskania, dających w sumie 100%. Niech ten nasz bilans opisuje zmienna losowa X (dla odróżnienia od V z HM bądź PT).

Wyobraźmy sobie teraz bardzo długi wzór na wartość oczekiwaną X. Zdaję sobie sprawę, że nie jesteśmy w żaden sposób określić dokładnych prawdopodobieństw w tym wzorze (np. jaka jest szansa, że po n rozdaniach będę pół BI do przodu bądź w tył), ale nie jest to teraz istotne. Znajdują się tam kilometry ciasno ułożonych liczb. Najważniejsze jest to, że dla każdego z nas istnieje skomplikowana zmienna losowa X, która opisuje precyzyjnie naszą grę. Jej wartość oczekiwana wyrażona w bb/100 to nasz winrate. Faktyczny winrate, którego nigdy nie poznamy, ale który możemy mniej lub bardziej skutecznie szacować. Na rozkład naszej „prywatnej” zmiennej losowej X mają wpływ różne czynniki - przede wszystkim przeciwnicy (zmiana ilości graczy pociągnie za sobą zmiany w X), ale także nasz rozwój (oglądając materiały szkoleniowe, czytając artykuły i książki oraz uczestnicząc w dyskusjach i treningach, możemy przechylać nasz rozkład w dodatnią stronę, zwiększając tym samym EX). Oczywiście możliwy jest też spadek formy bądź wzrost poziomu gry przeciwników.

Co to wszystko oznacza?

Podsumowując ten artykuł, odpowiedzmy na pytanie postawione w tytule. Otóż na naszych przykładach widać, że wartość oczekiwana jest tak naprawdę bardzo rzadko oczekiwana. W rzucie monetą bądź kostką dopiero po dwóch rzutach możemy spodziewać się wyniku równemu oczekiwanemu. W przypadku ruletki czy pokera nasz wynik nigdy nie wyniesie dokładnie tyle ile byśmy „oczekiwali”, dlatego że przeważnie będzie to wynik z wieloma miejscami po przecinku, co oznaczałoby mozolne dzielenie jednego centa na kawałki. Po co więc ten cały zamęt? Otóż okazuje się, że mamy powody oczekiwać, że wyniki doświadczeń (szczególnie tych często powtarzanych) będą blisko tych oczekiwanych. Co to znaczy „blisko”? Postaram się bardzo konkretnie odpowiedzieć w kolejnych artykułach.

Na koniec zadaję pytanie wam, czytelnikom. Jak wyglądałby wykres linii EX z przykładu 5, gdybyśmy byli w stanie go narysować na tle linii Won oraz EV z oprogramowania pokerowego w waszych przypadkach? Bliżej by jej było (w sensie kształtu i odległości) do linii Won czy EV? Jak sądzicie? Pozdrawiam i czekam na odpowiedzi, pytania i wolne komentarze.

Zapraszam także do wyrażania swojej opinii na temat tej serii w wątku na forum:
Forum: Matematyka w pokerze - dyskusja

Poniżej znajdziecie odnośnik do poprzedniej części:
Matematyka w pokerze - bilans gry jako zmienna losowa

by prawdziwyelbandito

//