Matematyka w pokerze - właściwe zrozumienie EV
Zapraszamy do trzeciego artykułu z serii „Matematyka w pokerze” autorstwa PrawdziwyElBandito. W tej części zajmiemy się linią EV z programów pokerowych. Porównamy je z „Won” i tym samym wrócimy do częstego sporu, która z tych wielkości jest istotniejsza.
Matematyka w pokerze
 |
|
Autorem tej serii jest użytkownik prawdziwyelbandito - absolwent Wydziału Matematyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie, matematyk z wykształcenia, autor pracy magisterskiej z zakresu aspektów matematycznych w pokerze: "Błądzenie przypadkowe i jego zastosowanie w zarządzaniu kapitałem w pokerze".
Znajomość matematyki pozwala nam na obliczenie liczby outów, pot oddsów, wykazania opłacalności sprawdzenia lub zagrania all-in. Programy obliczeniowe pokazują nam bardzo dokładnie, jakie mielibyśmy szanse na wygranie danego rozdania, gdyby doszło do sytuacji all-in na preflopie bądź którymkolwiek późniejszym streecie. To wszystko pozwala ocenić jakość naszej gry i wprowadzić niezbędne poprawki. Matematyka pokazuje nam, jak grać i większość pokerzystów wie, że ona się nie myli, nie da się jej oszukać. W tej serii będę starał się pokazać ciekawsze oblicze zastosowań matematyki w pokerze. Zastępuję pytanie: „Jak grać w pokera?”, na rzecz pytania: „Dlaczego grać?”. Postaram się przedstawić aspekty nieco wyższej matematyki w jak najbardziej przystępny sposób.
Co znaczy skrót EV, a czym naprawdę jest?
Nie jest tajemnicą, że skrót EV pochodzi od angielskiego „expected value”, co nie znaczy nic innego jak „wartość oczekiwana”. Jest to pojęcie matematyczne omówione w poprzednim artykule. Jak z niego wynika, wartość oczekiwana to pewna stała liczba. Natomiast każdy, kto kiedykolwiek widział wykres EV, bardzo dobrze wie, że widniejące tam EV na pewno nie jest stałą. EV nie jest niczym innym jak zmienną losową, podobnie jak Won. Nasz wykres EV zależy od czynników losowych - choćby od rąk startowych, jakie dostawaliśmy. Sama nazwa jest więc dość sporym nadużyciem ze strony programów pokerowych, mimo to osobiście nie mam pomysłu na lepszą.
Czym w takim razie EV różni się od Won?
Otóż, zgodnie z definicją podawaną przez oprogramowania pokerowe, EV od Won różni się tylko w sytuacjach, w których doszło do showdownu przed riverem (dodatkowo jeżeli jeszcze jedna ze stron nie ma 100% na wygranie rozdania). W tych momentach jest podawana wartość oczekiwana tego rozdania zamiast jego rzeczywistego wyniku (który zobaczymy w Won). Przy czym liczenie owej „wartości oczekiwanej” odnosi się tylko do sytuacji od momentu all-in. Wszystko, co miało miejsce wcześniej, nie jest uwzględniane. I dlatego EV nie jest wartością oczekiwaną, jak wspomniałem w poprzednim akapicie, bo nie uwzględnia czynników losowych przed momentem all-in. Prosty przykład zilustruje, co mam na myśli:
Przykład 1.
Jesteś graczem wygrywającym z winratem 2bb/100. Grasz odmianę szybkiego pokera (dla losowego wyboru pozycji). Wylosowałeś small blind. Wszyscy przed tobą spasowali, a ty otrzymujesz KK. Otwierasz, BB przebija, ty odpowiadasz 4-betem, aż wreszcie obydwaj stackujecie się na preflopie. Macie pełne stacki, a przeciwnik pokazuje AA. Masz ok. 20% na wygranie rozdania. Na riverze spada król i żetony przesuwają się w twoją stronę. Miałeś szczęście czy pecha? Zastanawiając się nad tym, przyjrzyjmy się pewnym wartościom:
EX = -0,2 bb (odsyłam do przykładu 5. z poprzedniego artykułu)
EV= 0,2 * 100 + 0,8 * (-100) = 20 - 80 = -60
Won = 100
Ujemne EV mogłoby sugerować, że rozdanie zostało rozegrane źle, co jak wiemy jest nieprawdą. Czyli nie każde zagranie EV- jest złe? Tak, dlatego że EV zupełnie nie bierze pod uwagę tego, co miało miejsce przed all-inem. Załóżmy teraz, że swoje KK zobaczyłeś, dopiero gdy był twój ruch, i sprawdźmy, jakie losowe czynniki miały kolejno wpływ na wynik tego rozdania:
1) Znajdujesz się na pozycji SB, co jest pechową sytuacją (winrate na tej pozycji rzadko kiedy wykracza ponad -20bb/100)
2) Miałeś spore szczęście, że nikt nie otworzył rozdania – zostajesz w rozdaniu z tylko jednym przeciwnikiem, co znacząco zwiększa twoje equity.
3) Dostajesz KK. Gorszą rękę dostajesz w ponad 99% przypadków, więc to też bardzo pozytywny akcent tego rozdania.
4) Przeciwnik dostaje asy. To ewidentny pech. Wszak zdarzy się to tylko raz na 221 razy.
5) Szczęśliwy król na river – dobrze mu tak, murkowi jednemu!
A jaką losowość „omija” EV? Tylko tą ostatnią, ale za to o sporym znaczeniu - zmieniła wynik rozdania z -60 (EV) na 100 (Won). Podobną analizę można przeprowadzić dla innej sytuacji:
Przykład 2.
Przeciwnik zbiera do gutshota na turnie za prawie cały stack i trafia na river, gdzie dochodzi do showdownu. EV i Won w tym momencie są identyczne. Historia zapomni o twoim niewyobrażalnym pechu, bo nie będzie go w papierach EV. Nie będziesz mógł też poskarżyć się koledze, że jesteś o tyle więcej poniżej EV. Ale wtedy często niektórzy skarżą się inaczej: „To EV jest o kant… stołu rozbić!”
Czy stąd wynika, że to EV jest „nic nie warte”?
Na to pytanie można odpowiedzieć bardzo szybko - nie. Jest bardzo proste uzasadnienie - nie mamy lepszego wyboru niż EV. Jedyną naszą alternatywą do sumarycznej oceny wyników, jaką możemy zbadać, jest wielkość „Won”. Widać już na Przykładzie nr 1, że o ile EV „omijało” chociaż jeden punkt losowości, to „Won” nie omija żadnych, przez co jest bardziej losowe. Co nie znaczy, że nie może być bliżej absolutnego winratu (EX). Wystarczyłoby, żeby rozdanie zakończyło się splitem, wówczas Won=0. Postarajmy się odpowiedzieć na nieco trudniejsze pytanie. Ile warte jest EV? Albo inaczej - jak bardzo EV różni się od Won i EX? W tym celu stwórzmy zmienną losową Diff.
Zmienna losowa Diff – różnica między EV a Won
Inspiracją do stworzenia tej zmiennej była dla mnie kolumna z widoku rąk w Hold’em Managerze o nazwie „$EV Diff”. Przedstawia ona różnicę między EV a Won w poszczególnych rozdaniach. Stwórzmy więc zmienną losową Diff zadaną wzorem:
Won = EV - Diff
Dzięki takiemu przedstawieniu, możemy policzyć losowość (wariancję) „omijaną” przez EV, czyli wariancję zmiennej losowej Diff, korzystając ze wzoru na wariancję sumy/różnicy niezależnych zmiennych losowych EV i Diff:
A stąd przechodząc z wariancji na odchylenia standardowe:
Odchylenie standardowe Won można odczytać z większości programów do analizy rozdań (dla graczy grających w NL Hold’em pełnym stackiem wynoszą zwykle między 70 a 100 bb), natomiast odchylenie standardowe EV jest rzadziej spotykane, ale można napisać własną statystykę bądź posłużyć się Excelem. Możecie też skorzystać z moich doświadczeń - w moim przypadku odchylenie standardowe EV wynosiło zawsze 80% - 86% odchylenia Won. Wstawiając przybliżenie 83% do wzoru otrzymamy:
To skąd mam w końcu wiedzieć, ile wynosi mój winrate?
Należy sobie zdać sprawę, że jak mówiliśmy w poprzednim artykule, nigdy nie poznamy swojego prawdziwego winrate’u. Jest to pewna liczba EX (wartość oczekiwana naszej prywatnej zmiennej X, która opisuje naszą grę), do której nasze wyniki dążą w longrunie. Jak szybko będą dążyć i co to właściwie jest ten longrun, dowiecie się w kolejnym artykule. Dzisiaj mówimy o EV i Won, które przybliżają nam owe EX. Miarą jakości tego przybliżenia może być odchylenie standardowe. Gdybyśmy znaleźli jakąś wielkość, która miałaby jeszcze mniejsze odchylenie niż EV, to ona byłaby najlepszym przybliżeniem. Innymi słowy, jeżeli ciekawi cię twój winrate, to większa jest szansa, że bliżej niego znajduje się EV niż Won, choć nie musi tak być. Pokaże to wykres.
Poniżej zamieszczam przykładową trajektorię, jaką możecie zobaczyć we własnym programie pokerowym. Stworzyłem ją w arkuszu kalkulacyjnym (prawy przycisk myszy na odnośniku -> Zapisz element docelowy jako...), który oddaję w wasze ręce do samodzielnych symulacji. W poniższym przypadku są uwzględnione następujące dane:
winrate= 2bb/100, odchylenie standardowe Won= 89bb, odchylenie standardowe EV= 74bb.
Jak widzicie, istnieją punkty, w których Won jest bliżej EX niż EV. Jednak chyba nikt nie ma wątpliwości, że przez przeważającą większość czasu to EV lepiej przybliża EX. Co więcej chyba lepiej jakość przybliżenia rozumieć jako średni błąd tego przybliżenia, a tu różnica jest jeszcze większa. Polecam zabawę dołączonym plikiem. Należy zmieniać tylko liczby na zielonym tle i wciskać „F9” w celu stworzenia nowej symulacji.
Co jest ważniejsze: EV czy Won?
Z przebiegu artykułu mogłoby się wydawać, że odpowiedź będzie jednoznaczna na korzyść EV. Nie jest tak do końca. Wyobraźmy sobie następującą sytuację: Pan Poker Pro po skończonej sesji pokerowej jest niezwykle zadowolony z siebie. Chwali się żonie, że dobrze grał i jego wynik sesji to +300 $ EV. Nadmienia przy okazji, że co prawda przegrał 200 $, ale liczy się EV, bo tak pisali w artykule. Na to żona odpowiada, że już od miesiąca mówi o tym EV, ciągle przegrywając, a ona przecież tego EV do garnka nie włoży. Kto więc ma rację? Wydaje mi się, że oboje. Każdy ma po prostu swój punkt widzenia. Dla profesjonalnego gracza lepszym wykładnikiem jego gry jest EV, bo prawdopodobnie lepiej określa jego formę i jest lepszym punktem odniesienia do szukania leaków. Nie ma powodu opierać analizę swojej gry o Won, jeżeli mamy dostęp do EV. Natomiast trzeba mocno stąpać po ziemi i faktem jest, że EV do garnka się nie włoży - dlatego tak ważne jest dobre zarządzanie kapitałem. Wówczas można bardzo długo udawać, że to właśnie EV wkłada się do garnka 🙂
Na zakończenie chciałbym podzielić się pewnym spostrzeżeniem mindsetowym. Jeżeli przyjmiemy, że dla nas najważniejsze jest EV, to jeżeli tylko linia EV jest wystarczająco wysoko nad zerem (każdy ma indywidualne wymagania i ambicje) mamy powody do zadowolenia. Oznacza to, że gramy dobrze i możemy z optymizmem patrzeć w przyszłość. Jeżeli natomiast linia EV jest nisko albo pod linią zera, to pozostaje jeszcze Won. Gramy nie najlepiej, ale być może los był dla nas łaskawy i może nawet mamy spory profit – nikt nam nie zabroni się z tego cieszyć. Tych pieniędzy nikt nam już nie zabierze. „Karty nie mają pamięci” i wcale nie musi być gorzej. Musimy jedynie popracować nad grą tak, aby również linia EV wyszła do góry. Wynika z tego, że prawo do złego humoru mamy tylko wtedy, gdy i Won, i EV są pod kreską albo nasza linia EV jest pod kreską i nie mamy żadnego pomysłu jak to zmienić. Pozdrawiam i zapraszam do komentowania i dyskusji.
Zapraszam także do wyrażania swojej opinii na temat tej serii w wątku na forum:
Forum: Matematyka w pokerze - dyskusja
Poniżej znajdziecie odnośniki do poprzednich części: Matematyka w pokerze - bilans gry jako zmienna losowa Matematyka w pokerze - wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe
by prawdziwyelbandito
