Matematyka w pokerze - dwie prawdy o grze w pokera

Zapraszamy do czwartego artykułu z serii „Matematyka w pokerze” autorstwa PrawdziwyElBandito. W tej części zajmiemy się dwiema podstawowymi, zdaniem autora, tezami na temat pokera. Dotyczą one relacji umiejętności i przypadku oraz ich wpływu na wyniki gracza.

Matematyka w pokerze

Autorem tej serii jest użytkownik prawdziwyelbandito - absolwent Wydziału Matematyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie, matematyk z wykształcenia, autor pracy magisterskiej z zakresu aspektów matematycznych w pokerze: "Błądzenie przypadkowe i jego zastosowanie w zarządzaniu kapitałem w pokerze".

Znajomość matematyki pozwala nam na obliczenie liczby outów, pot oddsów, wykazania opłacalności sprawdzenia lub zagrania all-in. Programy obliczeniowe pokazują nam bardzo dokładnie, jakie mielibyśmy szanse na wygranie danego rozdania, gdyby doszło do sytuacji all-in na preflopie bądź którymkolwiek późniejszym streecie. To wszystko pozwala ocenić jakość naszej gry i wprowadzić niezbędne poprawki. Matematyka pokazuje nam, jak grać i większość pokerzystów wie, że ona się nie myli, nie da się jej oszukać. W tej serii będę starał się pokazać ciekawsze oblicze zastosowań matematyki w pokerze. Zastępuję pytanie: „Jak grać w pokera?”, na rzecz pytania: „Dlaczego grać?”. Postaram się przedstawić aspekty nieco wyższej matematyki w jak najbardziej przystępny sposób.

Dwie prawdy o pokerze

Z pierwszego artykułu dowiedzieliśmy się, że dla każdego z nas istnieje pewna zmienna losowa X, która opisuje wyniki naszej gry. W drugim artykule nauczyliśmy się liczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennych losowych, natomiast w trzecim zilustrowaliśmy wzajemne relacje między zmiennymi X, EV i Won. Wspomnieliśmy, że zarówno EV jak i Won dążą w longrunie do EX, czyli wartości oczekiwanej zmiennej X. W tym artykule zajmiemy się bliżej owym „dążeniem w longrunie”. Zrobimy to formułując dwie podstawowe prawdy o grze w pokera. Moim zdaniem każdy profesjonalny gracz powinien nie tylko o nich wiedzieć, ale również dobrze je rozumieć (przez gracza profesjonalnego rozumiem gracza, dla którego poker jest głównym źródłem utrzymania). Sądzę, że znajomość tematu w środowisku jest spora, natomiast jeżeli chodzi o świadomość i zrozumienie jest już gorzej. Sformułujmy nasze tezy.

Poker jest grą umiejętności, w której rolę odgrywa również los, przy czym jeżeli liczba rozdań zmierza do nieskończoności, to losowość (wariancja) wyników zmierza do zera.

Nie ulega wątpliwości, że niektóre zagrania w pokerze są lepsze od innych (maja wyższą wartość oczekiwaną). Wybieranie dobrych zagrań (z dodatnia wartością oczekiwaną) i unikanie złych (z ujemną wartością oczekiwaną) jest kwestią umiejętności. Podobnie jak stwarzanie sytuacji, w których dobre zagranie będzie ciężko wykonać przeciwnikowi. Mylą sie jednak ci, którzy uważają, że w pokerze szczęście nie odgrywa żadnej roli. W dowolnym pojedynczym rozdaniu rola szczęścia (sprzyjających kart) jest ogromna – podejmując właściwe decyzje stwarzamy sobie jedynie sytuacje, w których wartość oczekiwana naszego bilansu w danym rozdaniu jest dodatnia (bądź „mało” ujemna), jednak nawet doskonała gra nie może nam zapewnić, że ów bilans będzie dodatni. Co więcej, decydujący wpływ przypadku na wyniki gracza utrzymuje się również na odpowiednio krótkiej serii rozdań. Podsumowując: poker jest grą, w której rolę odgrywają zarówno umiejętności, jak i los.

Ponieważ bilans gry gracza jest zmienną losową, to przy założeniu, że wyniki w kolejnych krokach są od siebie niezależne, można zastosować do niego mocne prawo wielkich liczb. Mówi nam ono, że jeżeli liczba rozdań będzie zmierzać do nieskończoności, to średni wynik gracza będzie zmierzał do wartości oczekiwanej bilansu jego gry (do EX). EX to pewna stała w danych warunkach liczba. Oznacza to, że wraz ze wzrostem liczby rozdań bilans gry gracza zmierza do pewnej stałej, tzn. prawdopodobieństwo tego, że nasz wynik jest różny od oczekiwanego o dowolną liczbę (powiedzmy np. o 2bb/100) jest coraz mniejsze. Tym samym, grając coraz więcej rozdań ograniczamy stopniowo losowość aż do wielkości zaniedbywalnie małych. Mocne prawo wielkich liczb nie podaje jednak konkretów. Mówi, że nasze wyniki zmierzają, ale nie mówi w jaki sposób i jak szybko (np. o ile bardziej miarodajna jest próbka 200k rozdań od próbki 100k). W tym momencie z pomocą przychodzi Centralne Twierdzenie Graniczne oraz nierówność Berry-Essena. Te dwa twierdzenia możliwie precyzyjnie opisują charakter i szybkość tej zbieżności. Nie chcąc po raz kolejny zanudzać was wzorami i przekształceniami (tym razem bardziej skomplikowanymi), przejdźmy od razu do przykładów. W wasze ręce ponownie oddaję arkusz excela, stworzony do tego celu. W arkuszu zmieniamy liczby w żółtych komórkach, a wyniki odczytujemy z wykresu.

Przykład 1.

W tym przykładzie odchylenie standardowe wynosi 85 bb/100, czyli jest to przeciętne odchylenie gracza big stack NLHE na stołach 6-max. Zauważmy, że poniżej 13k rozdań średnio (czerwona linia) mamy poniżej 50% szans na to, że nasz winrate jest w przedziale +/- 5bb/100. Jeżeli weźmiemy pod uwagę fakt, że w obecnych czasach winrate na poziomie 5bb jest bardzo wysoki, to dojdziemy do wniosku, że grając nawet kilkanaście tysięcy rozdań jesteśmy na łasce losu jak w rzucie monetą. Możemy być graczami wygrywającymi na poziomie 5bb/100, a to los ostatecznie zadecyduje, czy w ogóle będziemy na plusie albo czy nasz winrate będzie 2 razy większy. Szansa na takie odchylenia średnio wynosi 50%, ale nigdy nie jest mniejsza niż 35% ani większa niż 65% (linie zielona i niebieska).

Przykład 2.

Dla równowagi popatrzmy na bardziej optymistyczny przykład:

To fragment tego samego wykresu. Przenosimy się jednak blisko 100k rozdań dalej. Okazuje się, że przy takiej liczbie rozdań średnio na ok. 93% możemy być pewni swego winrate'u, ale na pewno na przynajmniej 88%.

Teraz wróćmy na chwilę do matematyki (obiecuję - tylko na chwilę), żeby lepiej zrozumieć dynamikę tych wykresów. Ograniczmy się do linii czerwonej. Jej kształt wynika z Centralnego Twierdzenia Granicznego. Z jego treści wynika równość, która po przekształceniach da się przedstawić w postaci:
gdzie α to prawdopodobieństwo na wykresie, ε to promień przedziału, n to liczba rozdań (w setkach), σ to odchylenie standardowe. Nie wchodząc w szczegóły, zwróćmy uwagę na jeden fakt. Jeżeli chcemy zachować stałe prawdopodobieństwo i promień przedziału zmniejszymy k razy, to liczbę rozdań musimy zwiększyć k² razy.

Wracamy do przykładu drugiego. Jeżeli chcielibyśmy zawęzić przedział do 1bb (zmniejszyć 5 razy), to żeby zachować prawdopodobieństwo 93%, musimy rozegrać 25 razy więcej rozdań czyli 2,5 mln. Zilustruje to poniższy wykres:

Przejdźmy do ostatniego przykładu. Pokaże on, że jeżeli zrezygnujemy z jednego z ograniczeń (zwykle z górnego, co nam przeszkadza, że będziemy powyżej EX), to prawdopodobieństwo znacząca wzrasta.

Przykład 3.

Załóżmy że gramy średnio 50k rozdań miesięcznie, a nasz przychód wynosi średnio 3bb/100. Jaka jest szansa, że po roku zarobimy przynajmniej 1bb/100?

Okazuje się, że po roku, czyli po 600k rozdaniach, przynajmniej na 95,5% wygramy przynajmniej 1bb/100, czyli 6k bb. Przemnóżcie tę liczbę przez własne stawki i da wam to pewien obraz. Podsumowując te rozważania, jako ciekawostkę chciałem powiedzieć, że nad jakością takich przybliżeń matematycy pracują nieustannie. Właśnie w tej kwestii duży postęp dał XXI wiek, w którym jakość oszacowań polepszono dwukrotnie (zmniejszono odległość między zieloną a niebieską linią). Ostatnie „ulepszenie” miało miejsce w zeszłym roku. Przejdźmy teraz do drugiej tezy, której uzasadnienie będzie bardziej intuicyjne niż matematyczne:

Poker jest grą małych przewag i dużej wariancji (EX jest znacznie mniejsze niż Var(X)).

Uzasadnienie tego punktu możliwe jest tylko na bazie doświadczenia i orientacyjnych danych statystycznych. Dla najlepszych graczy EX jest rzędu kilkunastu (na micro), a odchylenie waha się od 70 do 100. Przy takiej różnicy tych wielkości, w myśl tego co powiedzieliśmy do tej pory, większość wygrywających graczy musi rozgrywać po kilkaset tysięcy rozdań, żeby być spokojnym o swój dodatni bilans gry. Tak duża rozbieżność między wartością oczekiwaną wyniku 100 rozdań a jego wariancją uzasadnia też, czemu przy małej liczbie rozdań przypadek ma decydujący wpływ na wynik gry gracza, co pokazaliśmy w poprzedniej sekcji.

Co to znaczy long term (longrun)?

Odpowiedź na to pytanie jest bardzo indywidualna. Zależy od wielu czynników. Głównie od stosunku do ryzyka, bo sprowadza się do odpowiedzi na pytanie: „Ile % pewności potrzebuję?”. Czy 80% to dużo czy mało? Gdy wchodzisz z asami na króle, to wydaje się, że to dużo – trudno uzyskać lepszą sytuację w pokerze. Ale czy zaryzykowałbyś połowę swojego majątku na 80%? Niektórzy zrobiliby to bez wahania, inni nie. Raczej niewielu zaryzykowałoby cały bankroll, chyba że trafilibyśmy na desperata. Każdy ma swoje cele i swój poziom komfortu – jedni grają z 20BI, a inni z 50BI czują się mało pewnie. W tym artykule chciałem wam tylko pokazać, że nie trzeba opierać się na intuicji, a sporo rzeczy można dokładnie policzyć. Dlaczego prawie wszyscy liczą, ile mają szans na flopie/turnie, a praktycznie nikt nie liczy, jaka jest szansa, że to, co robi, na co poświęca czas, a czasem i zdrowie, w ogóle przyniesie jakikolwiek efekt? Bynajmniej nie chcę nikogo zniechęcać - wręcz przeciwnie. Sam jestem żywym przykładem tego, że zwiększona świadomość ryzyka nie musi powodować niechęci do niego.

Jeżeli jednak mielibyśmy przyjmować jakieś long termowe wartości, to chyba każdy po przeczytaniu tego artykułu poczuje, że mówimy tu raczej o setkach niż o dziesiątkach tysięcy rozdań, czyli o miesiącach, a nie o tygodniach solidnej gry. To nie znaczy, że nie należy codziennie analizować sesji – gorąco do tego zachęcam – ale tylko pod kątem szukania błędów, a nie oceniania wyników.

Zdaję sobie sprawę, że może być wiele pytań do tego artykułu albo arkusza. Na wszystkie chętnie postaram się odpowiedzieć. Zapraszam do komentowania i udzielania się na forum.

Zapraszam także do wyrażania swojej opinii na temat tej serii w wątku na forum:
Forum: Matematyka w pokerze - dyskusja

Poniżej znajdziecie odnośniki do poprzednich części:
Matematyka w pokerze - bilans gry jako zmienna losowa
Matematyka w pokerze - wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe
Matematyka w pokerze - właściwe zrozumienie EV

by prawdziwyelbandito